順列は「順に並べる」だけでいい？図で直感的に理解しよう

順列のおさらい

教科書では、順列の定義は、「いくつかのものから何個かを選んで順番に並べる」とありますが、いざ説明の段階になると、１番目、２番目、・・・と言うふうに順に並べて、積の法則を用いて、あるいは樹形図を用いて、解説されます。

前回は、「選んで並べる」と「順に並べる」ことが、数式の上で一致することを確認してしました。（前回のコラムを見ていない方はこちら：数式でわかる順列の定義）

今回はその前回の続きとして、図や具体例を使って「選んで並べる」と「順に並べる」の関係を直感的に確認してみましょう。

◆ 具体例：4人から2人を順に並べる

たとえば、Aさん、Bさん、Cさん、Dさんの4人の中から順に2人を選びます。その際に最初に選ばれた人を1番、次に選ばれた人を2番と順番をつけます。

• 1番目は、4人の中から誰でも選べるので、4通り。
• 2番目は、1番目で選ばれた人以外の3人から選べるので、3通り。

よって、積の法則より、4 × 3 = 12通りとなります。

◆「選んでから並べる」と比べる

では次に、4人から2人を選んでおいて、その後でその2人の順番を決めるとどうでしょうか？

• まず、4人から2人を選ぶと、AB、AC、AD、BC、BD、CD の6通りの選び方ができます。
• 次にその選ばれた2人の順番を決めます。これはAさんとBさんの場合には、ABとBAの 2通りとなります。

そして、これは最初に選んだ6つのグループに対しても言えますので、積の法則より、6 × 2 = 12通りとなります。

やっぱり同じ結果になります。先に2人を選んで（AB、AC、AD、BC、BD、CD）、そのあと並べても、やっぱり12通りになりました。

◆ 樹形図で確認する

以下の樹形図を見てください。

これを見ると、最初から順に選ぶだけで、必要な組合せがすべて出てくることがわかります。

◆ 今日のQ＆A

まとめ ▶▶▶ 順列は、順に並べると考え、樹形図をイメージしよう

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