絶対値とは何か？──絶対値を正しく理解しよう

まず、数学の世界での絶対値の定義を紹介します。

\[|a|=\begin{cases}
a & (a\ge0)
\\ -a & (a\lt0)
\end{cases}\]

【日本語での解釈】

この絶対値の定義は、 「\(a\)が\(0\)以上なら、そのまま」 「\(a\)が\(0\)より小さいなら、符号を変えて\(0\)以上にする」 というルールを意味しています。

もっと直感的に言うと──

• もともと\(0\)以上の数（たとえば\(5\)や\(0.2\)など）は、そのまま動かさずに。
• マイナスの数（たとえば\(-3\)や\(π-4\)など）は、その数全体にマイナスをかけて、\(0\)より大きい数に直してあげます。

つまり、絶対値とは、「数がどれだけ原点（\(0\)）から離れているか」という距離を表すための道具なのです。

ポイント:
「式の一部分だけ」ではなく、「数全体（式全体）にマイナスをかける」という意識が大切です。
（例）\(|-3| = 3、|π-4| = 4-π\)

【まとめると】

• \(a \ge 0\) のときは、そのまま \(a\)。
• \(a < 0\) のときは、数全体にマイナスをかけて正の数にする。

この「\(0\)を境にした二通りの動き」が、絶対値の本質なんです。